We gebruiken technologieën zoals cookies om informatie over je apparaat op te slaan en/of te raadplegen. We doen dit met als doel om de beste ervaring te bieden en om gepersonaliseerde advertenties te tonen. Door in te stemmen met deze technologieën kunnen we gegevens zoals bladeren gedrag of unieke ID's op deze site verwerken. Als je geen toestemming geeft of je toestemming intrekt, kan dit een nadelige invloed hebben op bepaalde functies en mogelijkheden.
The technical storage or access is strictly necessary for the legitimate purpose of enabling the use of a specific service explicitly requested by the subscriber or user, or for the sole purpose of carrying out the transmission of a communication over an electronic communications network.
De technische opslag of toegang is noodzakelijk voor het legitieme doel voorkeuren op te slaan die niet door de abonnee of gebruiker zijn aangevraagd.
The technical storage or access that is used exclusively for statistical purposes.
De technische opslag of toegang die uitsluitend wordt gebruikt voor anonieme statistische doeleinden. Zonder dagvaarding, vrijwillige naleving door je Internet Dienst Provider, of aanvullende gegevens van een derde partij, kan informatie die alleen voor dit doel wordt opgeslagen of opgehaald gewoonlijk niet worden gebruikt om je te identificeren.
The technical storage or access is required to create user profiles to send advertising, or to track the user on a website or across several websites for similar marketing purposes.
Je hebt bij één worp een kans van 1 op 6 dat je zes gooit, dus bij 6 keer gooien zou je dus één keer zes moeten gooien, maar dat hoeft niet.
Maar hoe vaker je gooit, hoe groter dat kans op dat gemiddelde van één keer zes gooien per 6 worpen, dus je maakt de grootste kans bij 18 worpen
Rekenen met hetgeen niet mag gebeuren is eenvoudiger (complementregel)
Kans op a is ongeveer 66% want kans op 6 keer pech is (5/6)^6 = 0,33
Kans op b is ongeveer 62% want 12 keer pech of 11 keer pech heeft kans (5/6)^12 + (5/6)^11 x (1/6) x 12 = 0,38
Kans op c is ongeveer 0,60, (5/6)^18 + (5/6)^17 x (1/6) x 18 + (5/6)^16 x (1/6)^2 x 153 = 0,40
Het is lastig de begrippen kans en verwachtingswaarde goed uitelkaar te houden.
Bij 18 worpen is de verwachtingswaarde van het aantal zessen inderdaad 3, maar de spreiding is veel groter.
Je hebt in totaal 6 variaties. In de vraag wordt het woordje KANS gebruikt, hetgeen in de kansrekening betekent dat je de kansen bij elkaar op moet tellen.
ik kom met dezelfde methode als Jan ook op C
Jan berekent het goed
Het goede antwoord is 16 A.
De berekening gaat via de binomiale verdeling, waarbij P de kans is op X = k.
P staat in dit geval voor de uitslag “6”.
Hierbij staat k voor het aantal successen (X = k), in oplopende gevallen van 1, 2 naar 3.
De uitkomst voor de berekende gegevens van de vraag is:
P(A) = 0.402
P(B) = 0.296
P(C) = 0.245
Korte uitleg.
Vereenvoudig het probleem naar een dichotoom probleem: kop of munt.
Wat is de kans P dat je kop gooit bij 1 worp: 1/2.
Wat is de kans dat je 2 keer kop gooit bij 2 worpen: 1/4.
Wat is de kans dat je 3 keer kop gooit bij 3 worpen: 1/8.
Nico,
Je hebt berekend wat de kans is op exact 1 x 6 uit 6, 2 x 6 uit 12 en 3 x 6 uit 18.
Maar de vraag is wat de kans is op minstens 1 x 6 uit 6, etc.
Dat klopt, maar volgens mij is in dit geval minsten = exact. Het ware denk ik beter geweest als in de vraag het woord minstens zou zijn weggelaten.
Volgens mij zou een betere vraagstelling de volgende geweest zijn (in lijn met de bedoeling van de opstellers van de vraag):
Wat heeft de grootste kans:
De kans om bij 6 worpen 1 keer 6 te gooien?
De kans om bij 12 worpen 2 keer 6 te gooien?
De kans om bij 18 worpen 3 keer 6 te gooien?
Als dit namelijk niet de bedoeling van de vraag is verlaat je het “exacte” gebied en betreed je een “fuzzy” gebied.
De vragen zouden dan moeten luiden
Wat heeft de grootste kans:
De kans om bij 6 worpen ongeveer 1 of meer keren 6 te gooien?
De kans om bij 12 worpen ongeveer 2 of meer keren 6 te gooien?
De kans om bij 18 worpen ongeveer 3 of meer keren 6 te gooien?
Dit kan volgens mij niet de bedoeling zijn van de NWQ 😉
PS: Bij het opstellen van deze reactie heb ik per ongeluk weer op item A geklikt en daardoor leek het alsof ik een valse stem wilde uitbrengen. Dat was uiteraard niet de bedoeling.
De vraag is prima. Minstens 1 zes wil zeggen dat er 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zessen worden gegooid. Voor minstens één zes mag het dus niet dat er geen enkele zes wordt gegooid. Bij de eerste worp heb je hiervoor 5 kansen op 6 (5/6), bij de tweede worp ook, enz. De kans op 6 maal geen zes is dan (5/6) tot de zesde macht, en de kans op minstens één maal zes is dan 1-(5/6)^6 = 66,5%
Bij 12 worpen met minstens twee keer zes geldt dan dat de kans op geen zes in 12 worpen en de kans op juist één zes in twaalf worpen moet worden afgetrokken van de totale kans van 1. En dan kom je zoals Jan al heeft voorgerekend op 61,9%
Geloof Jan maar…
Nico
Volgens jou kop of munt redenering heb je dus bij 3 keer gooien 1/8 kans om kop te gooien en dus 7/8 kans om munt te gooien, daar geloof ik niets van.
Ik denk dat als je kop of munt gooit dat hoe vaker je gooit hoe meer je aan de 50% komt voor kop als ook voor munt.
Dat geld voor het zessen gooien ook, hoe vaker je gooit hoe meer je het gemiddelde haalt van 1 x per 6 worpen zes gooien, dus heb je bij 18 keer gooien de grootste kan om tenminste 3 keer zes te gooien. (en 3 x een en 3 x twee, enz)
Jan heeft inderdaad gelijk. Ik heb het woord minstens verkeerd geïnterpreteerd.
Het gaat niet om de kans P(X = k), maar om de kans P(X >= k).
Elke P heb ik berekend via de kansfunctie en per geval de P’s opgeteld.
In het geval van A wordt dat dus:
P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0.67
Voor B:
P(X = 2) + P(X = 3) + … + P(X = 12) = 0.62
Voor C:
P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = 18) = 0.60
Dat betekent echter nog wel dat 16A het goede antwoord is en dat is het volgens Jan ook, als ik zijn reactie nog eens goed lees. Hij krijgt namelijk dezelfde getallen.
Vriendelijke groet.
Dag Henk, ik heb even zitten rekenen.
De kans bij 1 munt om bij:
1 worp exact 1 keer kop te gooien = 0.5
2 worpen exact 2 keer kop te gooien = 0.25
3 worpen exact 3 keer kop te gooien = 0.125
Dit is wat ik bedoelde in mijn voorbeeld.
Iets anders is de volgende situatie.
De kans bij 1 munt om bij:
1 worp minimaal 1 keer kop te gooien = 0.5
2 worpen minimaal 1 keer kop te gooien = 0.75
3 worpen minimaal 1 keer kop te gooien = 0.88
Vriendelijke groet.
Nico
Dat klopt, maar volgens mij is de vraag is niet hoe groot is de kans om X x zes te gooien
Maar hoe groot is de kans om tenminste het gemiddelde aantal keren (bijvoorbeeld) zes te gooien a bij enkele keren, b bij wat meer, c bij nog meer keren gooien.
En dan moet het volgens mij c zijn hoe vaker je gooit hoe groter de “kans†(misschien is hier het woord “zekerder†meer op zijn plaats) om (tenminste) het gemiddelde te halen
Voor de goede rekenaars:
P minstens één zes 1-kans geen zessen=1-(5/6)**6 0,665102023
P precies één zes (1/6 x 5/6**5) x (6 over 1) 0,401877572
P precies 2 zessen (1/6**2 x 5/6**4) x (6 over 2) 0,200938786
P precies 3 zessen (1/6**3 x 5/6**3) x (6 over 3) 0,053583676
P precies 4 zessen (1/6**4 x 5/6**2) x (6 over 4) 0,008037551
P precies 5 zessen 1/6 ** 5 x 5/6 x(6 over 5) 0,000643004
P precies 6 zessen 1/6 ** 6
2,14335E-05
Subtotaal 0,665102023
P GEEN zessen 5/6 ** 6
0,334897977
Totaal 1
Groeten
Steven
Ik kan je berekening niet volgen, kun je er wat uitleg bij geven?
bedankt
Hoi Henk,
Steven doet in feite hetzelfde wat ik deed in mijn reactie van 8 december over Jan’s antwoord. Zie ergens hierboven.
Hij berekent voor alle P(X>=k) met behulp van de kansfunctie (binomiale verdeling) de kans.
Zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiale_verdeling
En: http://nl.wikipedia.org/wiki/Binomiaalco%C3%ABffici%C3%ABnt
Dus afgerond:
P(X=1) = 0,402
P(X=2) = 0,201
P(X=3) = 0,054
P(X=4) = 0,008
P(X=5) = 0,001
P(X=6) = 0,00002
Opgeteld = 0,67 (afgerond). Dit is dus de kans op minstens 1 keer 6 bij 6 worpen.
Voor de volledigheid deed Steven er ook nog P(X=0) = 0,33 (afgerond) bij.
Dit opgeteld bij 0,67 levert 1. En daarmee is de zaak weer compleet.
Vriendelijke groet.
Volgens mij gewoon antwoord C
Kans op 1 keer 6 in 6 beurten: 1 -/- 5/6^6 = 0.665102
Kans op 2 keer 6 in 12 beurten: 1 -/- ((5/6^12)+(5/6^11*1/6^1) = 0.865412
Kans op 3 keer 6 in 18 beurten: 1 -/- ((5/^6^18)+(5/6^17*1/6^1)+(5/6^16*1/6^2)) = 0.953424
Moet wel C zijn 🙂
Barnie: je vergeet dat je de 5/6^11 * 1/6 keer 12 moet doen omdat de ene 6 op 12 pleken kan voorkomen!
En dan wordt de kans 0,6187, en bij C (waarbij de laatste kans bijvoorbeeld keer 18*17/2 moet!!) 0,5973…
Dus A wint.
Hi Henno,
Ik denk dat je je vergist hoor. Volgens mij bereken ik met mijn berekening die jij weergeeft de kans dat ik uit 12 gooien ongeacht de volgorde 11 keer geen 6 gooi en 1 keer wel. Volgens mij heeft dat niks te maken met wanneer je die 6 gooit, als je hem maar gooit. Ik zou niet weten waarom ik het dan maal 12 zou moeten doen. Wat bedoel je verder precies met 18*17/2?? Hoop dat je het me uit kunt leggen want volgens mij klopt jouw berekening niet 😉
De kans op minstens 1 keer 6 in 6 worpen = 1 – (kans op geen enkele 6) = 1 – (5/6)^6 = 0.6651…, dat moet duidelijk zijn.
Stel dat er een antwoord D was: minstens 1000 keer 6 in 6000 worpen. Dat reken je niet even uit. Stel je doet dit experiment, dan kun je er van uit gaan dat je, als je zo vaak gooit, bij benadering altijd 1000 zessen gooit: de wet van grote aantallen.
Stel nu (ga er maar voor zitten) dat je dit experiment 100 keer doet, dan gooi je de helft van de tijd (50 keer) minder dan 1000 zessen, en de andere 50 keer gooi je meer dan 1000 zessen. Kortom, de kans gaat dus richting de 0,5 en wordt dus steeds kleiner naarmate je vaker gooit. Dit klopt met de berekening van Henno.
Het moet dus echt A zijn, Barnie. Je moet jouw berekening inderdaad steeds vermenigvuldigen met het aantal mogelijke “plaatsingen” van de zessen.
Als het bij antwoord B ging over het gooien van twaalf dobbelstenen (i.p.v. 12 keer gooien met 1, komt op hetzelfde neer) en die dobbelstenen hebben alle twaalf een andere kleur, dan is de kans dat je precies 1 zes gooit met 1 bepaalde kleur 1/6 * (5/6)^5. Dit is dus de kans dat bv de rode een zes is, en alle andere niet. De kans dat je precies 1 zes gooit, ongeacht de kleur, is dus 12 keer zo groot.
Die 18*17/2 slaat op het aantal mogelijke “kleurencombinaties” van precies 2 zessen met 18 stenen/worpen: 18 kleurmogelijkheden voor de eerste 6, 17 mogelijkheden voor de tweede 6, gedeeld door twee omdat alle kleurencombinaties twee keer voorkomen (geel-rood is hetzelfde als rood-geel). Lastig onderwerp, dit….
Kans op a is ongeveer 66% want kans op 6 keer pech is (5/6)^6 = 0,33
Sorry, ik ben hier niet zo goed in. Ik snap niet waarom je niet (1/6)^6=0.00002 kan doen? Wil iemand het me uitleggen?
Hi Stella,
1/6^6 is de kans dat je in 6 beurten 6 keer een 6 gooit (of in ieder geval 6 keer een zelfde aantal ogen). Kans op 6 is namelijk 1/6 en als je 6 keer een 6 wilt gooien is je kans dus 1/6*1/6*1/6*1/6*1/6*1/6 oftewel 1/6^6. Zoals je ziet is die kans nihil. Eigenlijk de kans dat je in een keer yahtzee gooit maar dan met 6 stenen.
De vraga is alleen niet hoe groot de kans is dat je 6 keer een 6 gooit maar minimaal 1 keer een zes. Hoop dat het zo iets duidelijker is geworden 🙂
Dit snap ik. Maar wat is dan de logica achter (5/6)^6? Dan zou je toch in 6 wordpen steeds één getal niet gooien?
Klopt. De totale kans van iets is 100% of 1. Als je daar de kans dat iets gebeurt wat het juist niet moet zijn vanaf trekt krijg je de kans op wel succes. Hier dus 1 -/- de kans op het gooien van géén 6 in een x aantal beurten. Dus de kans op 1 of meer zessen in 6 beurten is 1 -/- de kans dat je zes keer geen 6 gooit (volgens mij). De kans dat je iets anders gooit dan een 6 per worp is 5/6, dus in 6 beurten geen 6 is 5/6^6. Zo iets duidelijker? Ze hebben het over de plek waar de 6 staat maar dat is volgens mij niet relevant omdat er 1 of meer zessen gegooid kunnen worden.
Ik ga voor antwoord C.
Hoe vaker je gooit, des te betrouwbaarder wordt de uitkomst, dus C.
Volgens mij is dit helemaal geen kansberekening vraag, maar een vraag over statistiek.
Bij 6 keer gooien, gooi je statistisch gezien 1 keer zes
Bij 12 keer gooien, gooi je statistisch gezien 2 keer zes
Bij 18 keer gooien, gooi je statistisch gezien 3 keer zes
Bij oneindig keer gooien, gooi je (oneindig)/6 keer zes
Dus; waneer ben je zekerder dat je het statistische gemiddelde gooit
Antwoordt; bij oneindig keren gooien of wat daar het dichtste bij zit, en dat is in deze vraag 18 keer.
Volgens mij is dit helemaal geen kansberekening vraag, maar een vraag over statistiek.
Bij 6 keer gooien, gooi je statistisch gezien 1 keer zes
Bij 12 keer gooien, gooi je statistisch gezien 2 keer zes
Bij 18 keer gooien, gooi je statistisch gezien 3 keer zes
Bij oneindig keer gooien, gooi je (oneindig)/6 keer zes
Dus; waneer ben je zekerder dat je het statistische gemiddelde gooit
Antwoordt; oneindig keren gooien of wat daar het dichtste bij zit, en dat is in deze vraag 18 keer.
Het antwoord is A. De berekening van Jan is juist.
Ik heb ook nog een simulatie gedaan op de computer waarbij ik een zeer groot aantal maal de experimenten heb uitgevoerd. De uitkomsten komen vrijwel overeen met de antwoorden van Jan.
Henk,
het gaat niet over wat het statistisch gemiddelde is, maar over de KANS dat je NIET MINDER zessen gooit dan het statistisch gemiddelde IN EEN BEPAALD AANTAL WORPEN. Die berekening van Jan (helemaal bovenaan, had ik nog niet gezien) klopt volgens mij als een bus.
Eens met de berekening van Jan en de beredenering van Erik.
A)
Het probleem is wellicht eenvoudiger voor te stellen als de kans in plaats van 1/6 een half is. Stel dat je (met terugleggen) een bal moet trekken uit een zak met evenveel witte en rode ballen. Wat is de kans op
a) 1 of meer rood bij 2 trekkingen
b) 2 of meer rood bij 4 trekkingen
c) 3 of meer rood bij 6 trekkingen
a) geeft 4 mogelijkheden:
rr *
rw *
wr *
ww
kans op minimaal 1 keer rood (*) = 3/4 = 12/16 = 48/64
b) geeft 16 mogelijkheden
rrrr *
rrrw *
rrwr *
rrww *
rwrr *
rwrw *
rwwr *
rwww
wrrr *
wrrw *
wrwr *
wrww
wwrr *
wwrw
wwwr
wwww
kans op minimaal 2 keer rood (*) = 11/16 = 44/64
Bij c) is de kans 42/64
Met andere woorden de kans wordt kleiner naarmate het aantal trekkingen toeneemt.
De verklaring is dat het aantal trekkingen met precies evenveel rode als witte ballen afneemt. Bij 2 trekkingen zijn dat er nog 2 (2/4), bij 4 nog maar 6 (6/16) etc. Hoe groter het aantal trekkingen, des te kleiner de kans op precies evenveel rode en witte ballen.
Anders gesteld:
De kans op >= 50 % rood = (1) kans op 50% rood + (2) kans op > 50% rood.
Bij grote getallen nadert (1) 0 % en (2) 50%.
Dezelfde redenatie geldt ook voor een kans van 1 op 6.
he dat is een vraag van een paar jaar terug, daar was toen ok al zo’n discusie over als over deze vraag
Na bestudering van de volgends site http://www.novaplein.nl/vavo/wiskunde/kans.html begin ik te denken dat de A denker wel eens gelijk kunnen hebben ondanks dat mijn gevoel C zegt.
En ander benadering wijze is volgens iemand anders de zaak kwadrateren en zo het aantal mogelijke combinaties berekenen
Dus 6^6 = 46656
12^6 = 2985984
18^6 = 34012224
En dan geeft A de minste kans op fouten combinaties.
Of dit een correcte benadering en kloppend verhaal is weet ik niet.
Zeg het maar
Het antwoord is A.
Neem een dobbelsteen met twee zijden. Met daarop een 1 en een 6.
Je mag twee keer gooien. Er zijn dan vier mogelijkheden (1-1, 1-6, 6-1 en 6-6). Van de vier mogelijkheden voldoet eentje niet aan de eis van tenminste een 6. De kans dat het mislukt bij twee keer gooien is dus 1/4 (of 4/16).
Nu mag je vier keer gooien en moet je twee keer 6 halen. Er zijn nu zestien mogelijkheden die alle even kansrijk zijn. Vijf daarvan voldoen niet aan de eis:
1-1-1-1
6-1-1-1
1-6-1-1
1-1-6-1
1-1-1-6
In de andere 11 gevallen zijn er twee of meer keer 6 gegooid. De kans dat het fout gaat is iets toegenomen, want 5/16.
Andre heeft dat prima uitgelegd met rode ballen.
De verklaring voor de afnemende kans bij meer worpen en meer zessen is dus dat bij meer worpen en meer keren 6 gooien het aantal mogelijkheden dat het fout gaat toeneemt. En dat is simpel te snappen of voor gevoelslui te voelen. Immers de keren dat je 1 keer een 6 gooit met 12 worpen en al die keren dat je twee keren 6 gooit met 18 worpen, heb je wel zessen gegooid, maar die doen allemaal niet mee aan de kans dat je minstens 2 of 3 keer zes gooit! Die voegen niets toe aan die kans, maar je gooit ze wel en gevoelsmatig denk je dat die meetellen, maar mooi niet. In het geval van een 6 gooien bij zes worpen telt die 6 altijd mee. En dan is de kans dat het goed afloopt dus ook groter.
Ik ben het volledig met Jan eens.
Op de website van NWO ontbreekt het woord ‘minstens’ in de antwoordmogelijkheden voor deze quizvraag. Dit zou best weleens een groot verschil kunnen uitmaken!
Oeps…. Frank heeft gelijk.
De antwoorden zijn anders.
Zonder het woord minstens moet het C zijn.
Hier staan de vragen en de antwoorden http://www.vpro.nl/wetenschap/nwq/nwquiz2007.html
Met het wordt “minstens†in alle antwoorden van vraag 18
A dus
De berekening van Steven van 9-12 lijkt me doorslaggevend. Als niet-statistisch geschoolde lijkt het me met zijn opsomming ook ’taliger’uit te rekenen.
De hamvraag is of -als men meer series van 6 worpen doet- het aantal zessen in de series met meer dan één zes (26.36 % van de series) opweegt tegen het aantal series met nul zessen (33.5%). De series met één zes zijn neutraal en niet interessant.
2 Zessen-20.1/26.36=76.3% van de series met meer dan één Zes,
3 Zessen-5.4/26.36=20%,
4 Zessen-3%
5 Zessen-0.2%,
6 Zessen verwaarloosbaar.
Gemiddelde van de 26.36% van de series waarin meer dan één zes wordt gegooid is (afgerond) (76×2)+(20×3)+(3×4)+(0.2×5)/100= 2,25 Zes.
26.36% x 2.25 Zes= 29.7% x 2 Zes. Als men meer series werpt, zal men in 33.5% van de series 0 Zessen werpen en equivalent aan 29.7 % van de series gemiddeld 2 Zessen werpen, waardoor minstens één Zes steeds verder buiten bereik komt bij het werpen van meer series, kortom, volgens mij ook het steeds vaker genoemde A.
Vraag 16: Je gooit een aantal keren met een dobbelsteen. Welk van de volgende drie uitkomsten maakt de grootste kans?
a) Dat je in 6 worpen minstens eenmaal een zes gooit.
b) Dat je in 12 worpen minstens tweemaal een zes gooit.
c) Dat je in 18 worpen minstens driemaal een zes gooit.
Het juiste antwoord is a. De kans op eenmaal 6 in 6 worpen is 1 min de kans op geen zes. Per worp is de kans op geen 6 gelijk aan 5/6, dus de kans op a is 1 – 5/6 tot de macht 6, dat is 0,67. De kans op tweemaal 6 in 12 worpen is 1 min de kans op geen 6, min de kans op maar 1 zes. Geen zes in 12 worpen levert een kans van 5/6 tot de macht 12, de kans op precies 1 zes in 12 worpen is 12 mogelijkheden keer de kans van 1/6 op een 6, keer de kans van 5/6 op geen zes tot de macht 11. Dat is 0,62. De kans op 3 of meer 6 en in 18 worpen is het kleinst, die is namelijk 1 min de kans op geen zessen (1/6^18), min de kans op eenmaal 6 (18 maal 1/6 maal 5/6^17), min de kans op precies tweemaal 6 (het aantal mogelijkheden in welke worpen je die twee zessen gooit is 18*17*16*15*….2*1, gedeeld door 2. dat is 3.201.186.852.864.000. Dit maal 1/6^2, maal 5/6^16). De kans op c komt daarmee uit op 0,60.
Antwoord = A
Heb nog leuk een GR (Grafische Rekenmachine) in mijn bezit.
binomcdf(n,p,k)
n = aantal worpen
p = succes kans
k = aantal keer succes
Even invullen…
a: binomcdf(6,1/6,1) = 0,737
b: binomcdf(12,1/6,2) = 0,677
c: binomcdf(18,1/6,3) = 0,648